Pyramides et cônes de révolution

1. Définitions préliminaires

1.1. Plans parallèles

Deux plans sont parallèles s’ils n’ont aucun point commun.

1.2. Plans sécants

L’intersection de deux plans distincts sécants est une droite. Sur la figure ci-dessus, l’intersection des plans (P1) et (P2) est la droite (D).

1.3. Plan coupant deux plans parallèles

Si un plan coupe deux plans parallèles alors les droites d’intersection sont parallèles.

Sur la figure ci-dessus :
 l’intersection des plans (P1) et (P) est la droite (D1).
 l’intersection des plans (P2) et (P) est la droite (D2)

Donc les droites (D1) et (D2) sont parallèles.

1.4. Droite perpendiculaire à un plan

Une droite (D1) est perpendiculaire au plan (P1) en M si elle est perpendiculaire à toutes les droites du plan (P1) passant par M.

Pour montrer qu’une droite est perpendiculaire en un point à toutes les droites du plan passant par ce point, il suffit qu’elle ne soit perpendiculaire qu’à deux droites du plan passant par ce point.

2. Pyramides

2.1. Définition

Une pyramide est un solide constitué :
 d’une face polygonale appelée base de la pyramide
 de faces triangulaires (faces latérales) ayant un sommet commun appelé sommet de la pyramide.

La perpendiculaire à la base passant par le sommet coupe la base en H.

La longueur SH est appelée la hauteur de la pyramide.

BCD est la base de la pyramide.

S est le sommet de la pyramide.

SDB, SBC et SDC sont les faces latérales de la pyramide.

Remarque

La droite (SH) est perpendiculaire à la face (BCD) en H donc la droite (SH) est perpendiculaire à toutes les droites du plan (BCD) passant par H.

En particulier :

2.2. Patron d’une pyramide

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On a représenté ci-dessus une pyramide à base carrée et son patron à droite. Les faces latérales sont des triangles isocèles de sommet principal S.

2.3. Volume d’une pyramide

Notons B l’aire de la base de la pyramide et h la hauteur correspondante à B.

En appelant V le volume de la pyramide, on a :

3. Cônes de révolution

3.1. Définition

Un cône de révolution est un solide constitué :
 d’un disque appelé base du cône de révolution
 d’une surface latérale.

 S est le sommet du cône de révolution.
 Le disque de centre O et de rayon OB est le disque de base.
 La hauteur du cône de révolution est la longueur du segment joignant le sommet au centre du disque de base c’est-à-dire la longueur OS.
 La génératrice est un segment joignant le sommet à un point du cercle de base. Toutes les génératrices ont la même longueur c’est-à-dire la longueur SB.
 La surface latérale est constituée de toutes les génératrices.

Remarque

Le triangle SOB est un triangle rectangle.

3.2. Patron

L’arc rouge et le périmètre du cercle ont la même longueur (représentée en rouge).

Aire du disque :

Aire de la surface latérale :

Aire du cône de révolution :

Les formules ci-dessus seront démontrées dans l’exercice 6.

3.3. Volume d’un cône de révolution

Appelons R le rayon du disque de base et h la hauteur du cône de révolution.