LA REUSSITE AU CARRE DEPUIS 1996
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Stage de préparation au Bac du 9 au 16 juin inclus. Stage de préparation au Brevet du 19 au 27 juin inclus.

 

Exercice 9 (Ecole Navale)

Soit n\in\N^{*}.

1. Démontrer l’existence/unicité d’un polynôme P_{n}\in\R[X] tel que (on rappelle que cotan = \frac{\cos}{\sin}) :

\forall x\in]0,\frac{\pi}{2}[, P_{n}(cotan^{2}(x)) = \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin^{2n+1}x}

2. Déterminer les racines de P_{n} et leur somme.

3. Montrer que \forall x\in]0,\frac{\pi}{2}[,cotan^{2}(x)\leq\frac{1}{x^{2}}\leq 1+cotan^{2}(x)

4. En déduire que : \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}

BJCEC1338064739